Dubults integrālis. Uzdevumi. Īpašības

Izglītība:

Problēmas, kas noved pie jēdziena "dubults integrāls".

  1. Pieņemsim, ka plakana materiālaplāksne katrā punktā, kurā ir zināms blīvums. Mums jāatrod šīs plāksnes masa. Tā kā šai plāksnei ir skaidri izmēri, to var ievietot taisnstūrī. Plātnes blīvumu var saprast arī šādi: tajos taisnstūra punktos, kas nepieder pie plāksnes, mēs pieņemam, ka blīvums ir nulle. Mēs definējam vienmērīgu dalījumu vienādā skaitā daļiņu. Tādējādi dota forma tiks sadalīta vienkāršajos taisnstūros. Apsveriet vienu no šiem taisnstūriem. Mēs izvēlamies jebkuru šo taisnstūra punktu. Ņemot vērā šāda taisnstūra mazo izmēru, mēs pieņemsim, ka blīvums katrā konkrēta taisnstūra punktā ir nemainīga vērtība. Tad šādas taisnstūra daļiņas masu definē kā blīvuma reizināšanu šajā punktā ar taisnstūra laukumu. Zona, kā jūs zināt, ir taisnstūra garuma reizinājums pēc platuma. Un uz koordinātu plaknes - šīs izmaiņas ar kādu soli. Tad visas plāksnes masa būs tādu taisnstūru masu summa. Ja mēs šādā sakarībā ietam uz robežu, tad mēs varam iegūt precīzu saikni.
  2. Mēs definējam telpisko struktūru, kas ir ierobežotakoordinātu izcelsme un dažas funkcijas. Ir nepieciešams atrast norādītā ķermeņa apjomu. Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, mēs sadalām teritoriju taisnstūrī. Mēs pieņemsim, ka punktos, kas nepieder domēnam, funkcija būs 0. Apsveriet vienu no taisnstūra starpsienām. Caur šā taisnstūra malām mēs ņemam lidmašīnas, kas ir perpendikulāri abscisas un ordinātu asīm. Mēs iegūstam paralēlskaldni, kas no plaknes ir ierobežots no aplikatora ass un no augšas - ar funkciju, kas tika norādīta problēmas stāvoklī. Mēs izvēlamies punktu taisnstūra vidū. Ņemot vērā šī taisnstūra mazo izmēru, mēs varam pieņemt, ka funkcijai šajā taisnstūrī ir nemainīga vērtība, un pēc tam jūs varat aprēķināt taisnstūra apjomu. Un skaitļa apjoms būs vienāds ar visu šādu taisnstūra visu apjomu summām. Lai iegūtu precīzu vērtību, jums jāiet uz robežu.

Kā redzams no radītajām problēmām, katrā piemērā mēs nonākam pie secinājuma, ka dažādas problēmas noved pie tā paša veida dubultām summām.

Dubultās integrāles īpašības.

Mēs iestatījām uzdevumu. Ļaujiet funkcijai no diviem mainīgajiem norādīt kādā slēgtā domēnā, ja dota funkcija ir nepārtraukta. Tā kā apgabals ir ierobežots, varat ievietot to jebkurā taisnstūrī, kurā pilnīgi ir noteiktas vietas īpašības. Taisnstūra sadaliet vienādās daļās. Mēs saucam par iegūto taisnstūru lielāko diagonāli sadalīšanas diametru. Tagad mēs izvēlamies punktu vienā šāda taisnstūra robežās. Ja mēs atradīsim vērtību šajā brīdī, summa tiek summēta, tad šī summa tiks saukta par funkcijas integralitāti konkrētā reģionā. Mēs atrodam šādas integrāles summas robežu, ar nosacījumu, ka sadalīšanas diametrs nāk līdz 0 un taisnstūri uz bezgalību. Ja šāda robeža pastāv un nav atkarīga no reģiona sadalīšanas taisnstūrī un punkta izvēles, to sauc par divkāršo integrāli.

Divkāršā integrāļa ģeometriskais saturs: divkāršais integrāls ir skaitliski vienāds ar ķermeņa apjomu, kas aprakstīts 2. uzdevumā.

Zinot divkāršo integrāli (definīciju), jūs varat iestatīt šādas īpašības:

  1. Konstanti var izņemt no neatņemamās zīmes.
  2. Summas (atšķirību) integrālis ir vienāds ar integrālu summu (starpību).
  3. No funkcijām, kuras dubults integrālis ir mazāks, tas ir mazāks.
  4. Moduli var veidot ar dubultā integrāļa zīmi.

Komentāri (0)
Pievienot komentāru